Question

下列命题中正确的命题是（　　）

A．若 lim n→∞ an =A， lim n→∞ bn =B，则 lim n→∞ an bn = A B （bn≠0，n∈N*）

B．若数列{an}，{bn}的极限都不存在，则{an+bn}的极限也不存在

C．若数列{an}，{an+bn}的极限都存在，则{bn}的极限也存在

D．设Sn=a1+a2+…an，若数列{an}的极限存在，则数列{Sn}的极限也存在

Answer 1

A不正确，当B=0时，则

lim

n→∞

an

bn

=

A

B

 无意义．
B不正确，例如当 a_n =n，b_n =-n 时，数列{a_n}，{b_n}的极限都不存在，
但{a_n+b_n}是{0}，显然极限存在．
C正确，设

lim

n→∞

an=A，

lim

n→∞

bn=B，
则

lim

n→∞

bn=

lim

n→∞

[( an+bn)-an]=

lim

n→∞

(an+bn)-

lim

n→∞

an=B-A．
D不正确，当a_n=2 时，数列{a_n}的极限存在，但由于S_n=2n，故数列{S_n}的极限不存在．
故选：C．