Question

已知函数，其中a是大于零的常数．
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）当a∈（1，4）时，求函数f（x）的最小值；
（3）若?x∈[0，+∞）恒有f（x）＞0，试确定实数a的取值范围．

Answer 1

解：（1），
因为a＞0，故当a＞1时，定义域为（-1，+∞）；
当a=1时，定义域为（-1，0）∪（0，+∞）；
当0＜a＜1时，定义域为．
（2）令，
当a∈（1，4）时，由（1）得x∈（-1，+∞），故x+1＞0，
所以，
当且仅当即时等号成立．
故f（x）的最小值为．
（3）?x∈[0，+∞），恒有f（x）＞0，
即，又x∈[0，+∞），
则a＞（2-x）（x+1），a＞-x²+x+2恒成立，故a＞2．
分析：（1）、函数f（x）的定义域要求），解这个分式不等式时，因为含有参数a，所以要分类讨论．
（2）、令，当a∈（1，4）时，由函数f（x）的定义域可知x+1＞0，从而利用均值不等式求出函数f（x）的最小值．
（3）、由题设条件可知，，能推导出a＞（2-x）（x+1）恒成立，从而推导出实数a的取值范围．
点评：本题是对数函数的综合题，难度较大，在解第（1）题时要注意对参数a进行妥类讨论，解第（2）题时要注意均值不等式的合理运用，解第（3）题时要进行合理转化．