Question

已知两点，，满足条件|PF₂|-|PF₁|=2的动点P的轨迹是曲线E，直线 l：y=kx-1与曲线E交于A、B两点．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）如果，求直线l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）先根据双曲线的定义求出曲线E的方程，再根据直线 l：y=kx-1与曲线E交于A、B两点，把y=kx-1代入曲线E的方程，△＞0，x1+x2＜0，x1x2＞0，求出k的范围．
（Ⅱ）利用弦长公式，用含k的式子表示|AB|长，再根据，就可求出k值，得到直线l的方程．
解答：解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，
曲线E是以为焦点的双曲线的左支           
且，易知b=1．
故曲线E的方程为x²-y²=1（x＜0）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由题意建立方程组
消去y，得（1-k²）x²+2kx-2=0
又已知直线与双曲线左支交于两点A，B，则解得．
即k的取值范围是．（6分）
（Ⅱ）∵
=
=
=（8分）
依题意得，
整理后得28k⁴-55k²+25=0，解得或
又，∴，
故直线AB的方程为．
点评：本题考查了直线与双曲线相交的判断，以及弦长公式的应用，做题时要认真分析，用对公式．