题目内容

下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程:区间(0,1)中的实数m对应数轴上的点M,如图1;将线段AB围成一个圆,使两端点A、B恰好重合,如图2;再将这个圆放在平面直角坐标系中,使其圆心在y轴上,点A的坐标为(0,1),如图3.图3中直线AM与x轴交于点N(n,0),则m的象就是n,记作f(m)=n.下列说法:①f(
1
4
)=1
;②f(x)是奇函数; ③f(x)在定义域上单调函数; ④f(x)的图象关于点(
1
2
,0)
对称.其中正确命题的序号是
③④
③④
.(写出所有正确命题的序号)
分析:借助于图形来看四个选项,先利用f(
1
4
)=-1,判断出①错;
在有实数m所在区间(0,1)不关于原点对称,知②错;
从图形上可得f(x)在定义域上单调递增,③对;
先找到f(
1
2
)=0,再利用图形判断④对.
解答:解:如图,因为M在以(1,1-
1
)为圆心,
1
为半径的圆上运动,
对于①当m=
1
4
时.M的坐标为(-
1
,1-
1
),直线AM方程y=x+1,
所以点N的坐标为(-1,0),故f(
1
4
)=-1,即①错.
对于②,因为实数m所在区间(0,1)不关于原点对称,
所以f(x)不存在奇偶性.故②错.
对于③,当实数m越来越大时,
如图直线AM与x轴的交点N(n,0)也越来越往右,
即n也越来越大,所以f(x)在定义域上单调递增,即③对.
对于④当实数m=
1
2
时,对应的点在点A的正下方,
此时点N(0,0),所以f(
1
2
)=0,
再由图形可知f(x)的图象关于点(
1
2
,0)对称,即④对.
故答案为  ③④.
点评:本题考查了在新定义的条件下解决函数问题,是一道很好的题.关于新定义型的题,关键是理解定义,并会用定义来解题.
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