Question

（上海春卷20）某厂根据市场需求开发折叠式小凳（如图所示）. 凳面为三角形的尼龙布，凳脚为三根细钢管. 考虑到钢管的受力和人的舒适度等因素，设计小凳应满足：① 凳子高度为，② 三根细钢管相交处的节点与凳面三角形重心的连线垂直于凳面和地面.

（1）若凳面是边长为的正三角形，三只凳脚与地面所成的角均为，确定节点分细钢管上下两段的比值（精确到）；

（2）若凳面是顶角为的等腰三角形，腰长为，节点分细钢管上下两段之比为. 确定三根细钢管的长度（精确到）.

Answer 1

[解]（1）设△的重心为，连结.    由题意可得，.

设细钢管上下两段之比为.

    已知凳子高度为. 则.       …… 3分

 节点与凳面三角形重心的连线与地面垂直，且凳面与地面平行.

 就是与平面所成的角，亦即.

    ，解得，.   …… 6分

    即节点分细钢管上下两段的比值约为.

（2）设，.

     设△的重心为，

则，                 …… 10分

     由节点分细钢管上下两段之比为，可知.             

     设过点的细钢管分别为，

     则 ，

        ，                

   对应于三点的三根细钢管长度分别为，和.    14分