Question

下列结论中正确结论的序号是

（2）（3）

．
（1）函数y=sinx在第一象限单调递增；
（2）函数f（x）=sin（

2x

3

+

7π

2

）是偶函数；
（3）已知f（x）=3sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|＜π），且对任意实数t都有f（t+

π

3

）=f（

π

3

-t），设g（x）=3cos（ωx+φ）-1，则g（

π

3

）=-1
（4）设α，β是锐角三角形两个内角，则sinα＜cosβ．

Answer 1

分析：（1）利用正弦函数的单调性可判断y=sinx在第一象限单调递增的正误；
（2）利用诱导公式可知f（x）=sin（

2x

3

+

7π

2

）=sin（

2

3

x-

π

2

）=-cos

2

3

x，从而可判断（2）的正误；
（3）由已知得，y=f（x）关于x=

π

3

对称，于是可由g（x）=3cos（ωx+φ）-1，求得g（

π

3

），从而可判断其正误；
（4）利用诱导公式与正弦函数的单调性即可判断（4）．

解答：解：（1）函数y=sinx在（0，

π

2

）上单调递增，但并不是在第一象限单调递增，故（1）错误；
（2）∵f（x）=sin（

2x

3

+

7π

2

）=sin（

2

3

x-

π

2

）=-cos

2

3

x，
∴f（-x）=-cos（-

2

3

x）=-cos

2

3

x=-f（x），
∴函数f（x）=sin（

2x

3

+

7π

2

）是偶函数，正确；
（3）∵f（t+

π

3

）=f（

π

3

-t），
∴y=f（x）关于x=

π

3

对称，
∴sin（ωx+φ）=±1，
∴cos（ωx+φ）=0，
∴g（

π

3

）=-1，故（3）正确；
（4）∵α，β是锐角三角形两个内角，
∴

π

2

＜α+β＜π，
∴

π

2

＞β＞

π

2

-α＞0，
∴cosβ＜cos（

π

2

-α）=sinα，故（4）错误；
综上所述，（2）（3）正确；
故答案为：（2）（3）．

点评：本题考查正弦函数的奇偶性，对称性与单调性，考查转化思想与综合运算能力，属于中档题．