Question

设数列{a_n}的各项均为正数，前n项和为S_n，已知．
（1）证明数列{a_n}是等差数列，并求其通项公式；
（2）证明：对任意m、k、p∈N^*，m+p=2k，都有；
（3）对于（2）中的命题，对一般的各项均为正数的等差数列还成立吗？如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵，∴当n≥2时，．
两式相减得，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=2，
又，∴a₁=1，
∴{a_n}是以a₁=1为首项，d=2为公差的等差数列．
∴a_n=2n-1；
（2）由（1）知，
∴，
于是
=，
∴；
（3）结论成立，证明如下：
设等差数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，则，
于是
=，
将m+p=2k代入得，，
∴S_m+S_p≥2S_k，
又
=，
∴．
分析：（1）由所给等式得，当n≥2时，，然后两式作差得a_n-a_n-1=2，由此可判断数列{a_n}是等差数列，利用通项公式即可求得；
（2）利用等差数列求和公式表示出+-，再用基本不等式证明该式大于等于0即可；
（3）先用作差法证明S_m+S_p≥2S_k，再用基本不等式证明，由此即可证明结论；
点评：本题考查等差数列的求和公式、通项公式，基本不等式的应用，考查学生综合运用所学知识分析解决问题的能力．