题目内容

甲有一只放有a本《周易》，b本《万年历》，c本《吴从纪要》的书箱，且a+b+c=6 （a，b，c∈N），乙也有一只放有3本《周易》，2本《万年历》，1本《吴从纪要》的书箱，两人各自从自己的箱子中任取一本书（由于每本书厚薄、大小相近，每本书被抽取出的可能性一样），规定：当两本书同名时甲将被派出去完成某项任务，否则乙去．
（1）用a、b、c表示甲去的概率；
（2）若又规定：当甲取《周易》，《万年历》，《吴从纪要》而去的得分分别为1分、2分、3分，否则得0分，求甲得分的期望的最大值及此时a、b、c的值．

解：（1）P（甲去）=P（两人均取《周易》）+P（两人均取《万年历》）+P（两人均取《吴从纪要》）
= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ ．
（2）设甲的得分为随机变量ξ，
则P（ξ=3）= $\text{[math]}$ ，
P（ξ=2）= $\text{[math]}$ ，
P（ξ=1）= $\text{[math]}$ ，
P（ξ=0）=1一P（甲去）=1一 $\text{[math]}$ ，
∴Eξ=3× $\text{[math]}$ +2× $\text{[math]}$ +1× $\text{[math]}$ +0×（1一 $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$
∵a，b，c∈N，a+b+c=6，∴b=6，此时a=c=0时，期望取得最大值，
∴当b=6时，Eξ= $\text{[math]}$ ，此时a=c=0，b=6．
分析：（1）P（甲去）=P（两人均取《周易》）+P（两人均取《万年历》）+P（两人均取《吴从纪要》），由此能用用a、b、c表示甲去的概率．
（2）设甲的得分为随机变量ξ，分别求出P（ξ=3），P（ξ=2），P（ξ=1），P（ξ=0），由此能求出甲得分的期望的最大值及此时a、b、c的值．
点评：本题考查离散型随机变量的数学期望和方差，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．