题目内容

已知平面向量
a
与
b
的夹角为
π
6
，|
a
|=
3
，|
b
|=1，则|
a
-
b
|=
 
；若平行四边形ABCD满足
AB
=
a
+
b
，
AD
=
a
-
b
，则平行四边形ABCD的面积为
 
．
分析：根据向量数量积的公式，算出
a
•
b
=
3
2
，进而得出（
a
-
b
）2=|
a
|2-2
a
•
b
+|
b
|2=1，可得|
a
-
b
|=
(
a
-
b
)2
=1；同理算出|
a
+
b
|=
7
，利用向量的夹角公式算出
a
+
b
与
a
-
b
夹角的余弦cos∠BAD，再根据同角三角函数的关系算出sin∠BAD的值，由平行四边形的面积公式即可算出四边形ABCD的面积．
解答：解：∵
a
与
b
的夹角为
π
6
，|
a
|=
3
，|
b
|=1，
∴
a
•
b
=|
a
|•|
b
|cos
π
6
=
3
2
，
可得（
a
-
b
）2=|
a
|2-2
a
•
b
+|
b
|2=3-2×
3
2
+1=1，
∴|
a
-
b
|=
(
a
-
b
)2
=1；
∵（
a
+
b
）2=|
a
|2+2
a
•
b
+|
b
|2=3+2×
3
2
+1=7，
∴|
a
+
b
|=
(
a
+
b
)2
=
7

设
a
+
b
、
a
-
b
的夹角为α，即∠BAD=α，
∴cosα=
(
a
+
b
)•(
a
-
b
)
|
a
+
b
|•|
a
-
b
|
=
|
a
|2-|
b
|2
|
a
+
b
|•|
a
-
b
|
=
3-1
7
×1
=
2
7
7
，
∵α∈（0，π），∴sinα=
1-cos2α
=
21
7
，
因此，平行四边形ABCD的面积为
S=
|AB|
•
|AD|
•sin∠BAD=|
a
+
b
|•|
a
-
b
|sinα=1×
7
×
21
7
=
3
．
故答案为：1，
3
点评：本题给出向量
a
与
b
的模与夹角，求|
a
-
b
|的值并依此求平行四边形的面积．着重考查了向量数量积的公式、向量模的公式和平行四边形的面积计算等知识，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知平面向量
a
与
b
的夹角为60°，且满足（
a
-
b
）•
a
=0，若|
a
|=1，则|
b
|=（　　）
已知平面向量
a
与
b
的夹角为120°，|
a
|=5，|
b
|=8，则|
a
+
b
|=
7
7
．

已知平面向量a与b的夹角为60°，|a|=1，|2a+b|=，则|b|=           .

 
已知平面向量
a
与
b
的夹角为60°，且满足（
a
-
b
）•
a
=0，若|
a
|=1，则|
b
|=（　　）
A．2B．
3
C．1D．
3
2

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