Question

已知

OA

=（3，-4）

OB

=（6，-3），

OC

=（5-m，-3-m）
（1）求向量

OA

与

OB

的夹角θ的余弦值；
（2）若A、B、C三点共线，求实数m的值．

Answer 1

分析：（1）由条件求得

OA

•

OB

=18+12=30，|

OA

|=5，|

OB

|=3

5

，设向量

OA

与

OB

的夹角为θ，则由cosθ=

OA • OB

| OA |•| OB |

，运算求得结果．
（2）若A、B、C三点共线，则有

AB

∥

AC

，再由

AB

=（3，1），

AC

=（2-m，1-m），可得 3（1-m）-1×（2-m）=0，由此求得m的值．

解答：解：（1）∵已知

OA

=（3，-4），

OB

=（6，-3），

OC

=（5-m，-3-m），∴

OA

•

OB

=18+12=30，|

OA

|=5，|

OB

|=3

5

，
设向量

OA

与

OB

的夹角为θ，则cosθ=

OA • OB

| OA |•| OB |

=

30

5×3 5

=

2 5

5

．
（2）若A、B、C三点共线，则有

AB

∥

AC

，∵

AB

=（3，1），

AC

=（2-m，1-m），∴3（1-m）-1×（2-m）=0，解得m=

1

2

．

点评：本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．