题目内容

给出封闭函数的定义:若对于定义域内任意一个自变量x都有函数值f(x0)∈D,则称函数y=f(x)在D上封闭.若定义域D=(0,1),则下列函数为封闭函数的是(  )
①f1(x)=4x-1  ②f2(x)=-
1
2
x2-
1
2
x+1  ③f3(x)=x+
1
x
  ④f4(x)=x
1
2
分析:根据封闭函数的定义,当定义域D=(0,1)时,对①②③④逐个分析即可得答案.
解答:解:当定义域D=(0,1)时,显然①f1(x)=4x-1∉D,不是封闭函数;
对于②,f2(x)=-
1
2
x2-
1
2
x+1=-
1
2
(x+
1
2
)
2
+
9
8

∵0<x<1,
∴f2(x)在(0,1)上单调递减;
∴f2(x0)∈(0,1]=D,即②是封闭函数;
对于③,当定义域D=(0,1)时,f3(x)=x+
1
x
∈(2,+∞),显然不是封闭函数;
对于④,当定义域D=(0,1)时,f4(x)=x
1
2
∈(0,1)=D,即④是封闭函数;
综上所述,②④是封闭函数.
故选D.
点评:本题考查函数的值域,考查一次函数、二次函数、双钩函数与幂函数的性质,考查分析与运算能力,属于中档题.
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