Question

已知命题p：f^-1（x）是f（x）=1-3x的反函数，且|f^-1（a）|＜2；命题q：集合A={x|x²+（a+2）x+1=0，x∈R}，B={x|x＞0}，且A∩B=Ф．
（Ⅰ）解不等式|f^-1（a）|＜2
（Ⅱ）求使命题p，q中有且只有一个真命题时实数a的取值范围．

Answer 1

分析：本题是以命题及其关系为载体，部分考查反函数的问题，
对于（Ⅰ）首先求出f（x）=1-3x的反函数f^-1（x），然后建立不等式|f^-1（a）|＜2即可求得a的范围，
对于（Ⅱ）要考虑集合A=∅和集合 A≠∅两种情况分别求出a的范围，然后取并集可得a的范围，
对于p，q中有且只有一个真命题要注意p真q假和p假q真两种情况．

解答：解：（Ⅰ）由y=1-3x可得f^-1（x）=

1-x

3

…（2分）
又由|f-1(a)|＜2即|

a-1

3

|＜2…（3分）
解得：p：-5＜a＜7…（4分）
（Ⅱ）当△=（a+2）²-4=a（a+4）＜0即-4＜a＜0时，A=Ф，
此时A∩B=Ф…（5分）
又当△=a（a+4）≥0即a≤-4或a≥0时A∩B=Ф?

a≤-4或a≥0     x1+x2=-(a+2)＜0     x1x2=1＞0

…（6分）
解得：a≥0
∴q：a＞-4…（8分）
（1）当p真q假时，

-5＜a＜7   a≤-4

∴-5＜a≤-4…（9分）
（2）当p假q真时，

a≤-5或a≥7   a＞-4

∴a≥7…（10分）
∴当a∈（-5，-4]∪[7，+∞）时，p，q中有且只有一个为真命题…（12分）

点评：本题综合性较强，过程多，是易错题，有两点值得引起注意，其一满足A∩B=∅要考虑A=∅，A≠∅两种情况；
其二对于“p，q中有且只有一个真命题”也要注意p真q假和p假q真两种情况．