题目内容

经过长期观测得到:在交通繁忙的时段,某公路段汽车的车流量y(千辆/小时)与汽车的平均速度v(千米/小时)之间的函数关系式为y=
450vv2-50v+1600
(v>0)

(Ⅰ)若要求在该时段内车流量超过9(千辆/小时),则汽车的平均速度应在什么范围?
(Ⅱ)在该时段内,当汽车的平均速度为多少时,车流量最大?最大车流量为多少?
分析:(Ⅰ)要使该时段内车流量不超过9千辆/小时,即使
450v
v2-50v+1600
>9
,解之即可得汽车的平均速度的控制范围;
(Ⅱ)将已知函数化简,从而利用基本不等式求车流量y最大值.
解答:解:(Ⅰ)由已知得:
450v
v2-50v+1600
>9
,…(2分)
50v
v2-50v+1600
>1
,而分母v2-50v+1600恒大于零,…(3分)
∴解之得:20<v<80…(7分)
∴汽车的平均速度应在每小时20\~80千米.                …(8分)
(Ⅱ)∵v>0∴y=
450v
v2-50v+1600
=
450
v+
1600
v
-50
…(11分)
v+
1600
v
≥80
,∴y≤15,…(14分)
当且仅当v=
1600
v
,即v=40(千米/小时)时,车流量最大,最大值为15(千辆/小时)        …(15分)
答:在该时段内,当汽车的平均速度为40(千米/小时)时,车流量最大,最大值为15(千辆/小时).…(16分)
点评:本题以已知函数关系式为载体,考查基本不等式的使用,考查解不等式,解题的关键利用基本不等式求最值,同时考查计算能力,属于中档题.
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