Question

设椭圆ax²+by²=1与直线x+y=1相交于A、B两点,且|AB|=2.又AB的中点M与椭圆中心连线的斜率为,求椭圆的方程.

Answer 1

椭圆方程为+y²=1.

解析:

将椭圆方程与直线方程联立,消去y并整理得(a+b)x²-2bx+b-1=0.

设A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂),

则x₁+x₂=,x₁x₂=.

∴|AB|=|x₁-x₂|

=·

=2·

=,

y₁+y₂=1-x₁+1-x₂=2-(x₁+x₂)=,k_OM=.

由题意知

解之,得

故所求椭圆方程为+y²=1.