在等比数列中.前n项和为Sn.已知S4=2.S8=8.求S12. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

在等比数列中，前n项和为S_n，已知S₄=2，S₈=8，求S₁₂.

试题答案

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思路解析：若把给定条件都用a₁，q表示，通过解方程组可以求得，这是基本方法.但注意到S₄，S₈，S₁₂是有规律的，可以考虑用等比数列的性质来解.

解法一：设等比数列的公比为q，

若q=1，则S₄=4a₁=2，∴a₁=.

S₈=8a₁=8，a₁=1.

这是相互矛盾的，因此q≠1.

∴S₄=，S₈= .

1+q⁴=4.

∴q⁴=3.

而=13.

∴S₁₂=26.

解法二：在等比数列中，S₄，S₈-S₄，S₁₂-S₈仍然成等比数列，即2，6，S₁₂-8成等比数列.

∴2（S₁₂-8）=6².

解得S₁₂=26.

深化升华

（1）应用等比数列的前n项和公式一定要先验证公比q是否可以是1，然后再选择公式.

（2）由S_n=（1-qⁿ）可以看出，是常数，S_n仅随qⁿ变化.因此，在解法一中，不必求出的值，只需通过S₄，S₈的比值来求得q，然后求得S₁₂.

（3）在等比数列中，S_n，S_2n-S_n，S_3n-S_2n仍成等比数列，其公比为qⁿ.

在应用此性质时，注意不是S_n，S_2n，S_3n成等比数列.

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