题目内容
必做题,本小题10分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线l过点M(4,0).
(1)若点F到直线l的距离为
,求直线l的斜率;
(2)设A,B为抛物线上两点,且AB不与x轴垂直,若线段AB的垂直平分线恰过点M,求证:线段AB中点的横坐标为定值.(6分)
已知抛物线y2=4x的焦点为F,直线l过点M(4,0).
(1)若点F到直线l的距离为
3 |
(2)设A,B为抛物线上两点,且AB不与x轴垂直,若线段AB的垂直平分线恰过点M,求证:线段AB中点的横坐标为定值.(6分)
分析:(1)设出直线l的方程y=k(x-4),利用点F到直线l的距离为
,即可求得k的值;
(2)设AB中点的坐标为N(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),依题意直线MN的斜率为
,直线AB的斜率为kAB=
,从而可得AB的方程,与抛物线y2=4x联立,结合韦达定理即可求得AB中点的横坐标.
3 |
(2)设AB中点的坐标为N(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),依题意直线MN的斜率为
y0 |
x0-4 |
4-x0 |
y0 |
解答:必做题,本小题(10分).
解:(1)由已知得F(1,0),又直线l过点M(4,0),
当直线l斜率不存在时,l的方程为:x=4,点F到直线l的距离为3,与题意不符;
∴直线l斜率存在,设为k,则l的方程为:y=k(x-4),…(2分)
∵点F到直线l的距离为
,
∴
=
,
∴k=±
…(4分)
(2)设AB中点的坐标为N(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),
因为AB不垂直于x轴,则直线MN的斜率为
,直线AB的斜率为kAB=
,
直线AB的方程为y-y0=
(x-x0),…(5分)
联立方程
消去x得(1-
)y2-y0y+
+x0(x0-4)=0,…(7分)
所以y1+y2=
,…(8分)
因为N为AB中点,所以
=y0,即
=y0,…(9分)
所以x0=2.即线段AB中点的横坐标为定值2.…(10分)
解:(1)由已知得F(1,0),又直线l过点M(4,0),
当直线l斜率不存在时,l的方程为:x=4,点F到直线l的距离为3,与题意不符;
∴直线l斜率存在,设为k,则l的方程为:y=k(x-4),…(2分)
∵点F到直线l的距离为
3 |
∴
|k-4k| | ||
|
3 |
∴k=±
| ||
2 |
(2)设AB中点的坐标为N(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),
因为AB不垂直于x轴,则直线MN的斜率为
y0 |
x0-4 |
4-x0 |
y0 |
直线AB的方程为y-y0=
4-x0 |
y0 |
联立方程
|
消去x得(1-
x0 |
4 |
y | 2 0 |
所以y1+y2=
4y0 |
4-x0 |
因为N为AB中点,所以
y1+y2 |
2 |
2y0 |
4-x0 |
所以x0=2.即线段AB中点的横坐标为定值2.…(10分)
点评:本题考查直线与圆锥曲线的综合应用,着重考查点到直线间的距离公式及直线与圆锥曲线的联立,突出考查方程思想与化归思想,属于难题.
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