Question

判定下列命题的真、假：

(1)垂直于同一条直线的两直线平行；

(2)垂直于同一个平面的两直线平行；

(3)一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；

(4)一条直线和一个平面都垂直于同一条直线，则这条直线和平面平行；

(5)a、b、c为三条直线，若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；

(6)过已知点作已知平面的垂线，和过已知点作已知直线的垂线，都是有且只有一条；

(7)如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直；

(8)垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．

Answer 1

答案：假命题;真命题;真命题;假命题;假命题;假命题;假命题;真命题
解析：

从直线与平面的位置关系、直线与平面的垂直定义入手，逐一判断真伪． 解：(1)垂直于同一条直线的两条直线可能平行，也可能相交或异面．如图所示，正方体中，AB与都与垂直，此时AB∥；AD与AB都与垂直，此时AD∩AB=A；AB与都与垂直，此时AB与异面．故该命题为假命题； 　　(2)该命题的结论为课本定理，故是真命题； 　　(3)如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线垂直于这个平面内的任何一条直线．一条直线和平面内的一条直线不垂直，则不具备线面垂直定义的要求．故是真命题； 　　(4)若直线在平面内，则满足命题的条件：一条直线和一个平面都垂直于同一条直线．故是假命题； 　　(5)同(1)中图可知，a与c位置关系可以平行．故是假命题； 　　(6)由唯一性结论知，过已知点作已知平面的垂线只有一条是正确的；而过已知点作已知直线的垂线则有无数多条，如图中，过点A作直线与垂直，由于⊥平面ABCD，可知平面ABCD内的所有直线都与垂直．故是假命题； 　　(7)该命题的关键是这无数条直线具有怎样的位置关系．①若为平行，则该命题应打“×”号；若为相交，则该命题应打“√”．正是因为这两种情况可能同时具备，因此，不说明面内这个无数条线的位置关系．故是假命题； 　　(8)由直线与平面垂直的判定定理知，垂直于三角形两边的直角必垂直于这个三角形所在的平面，从而也必垂直于其第三边．故它为真命题． 本题是利用直线和平面垂直的定义及判定定理等知识：来解答的问题。解答此类问题必须做到：概念清楚，问题理解透彻，相关知识能灵活运用．