Question

命题A：一元二次方程ax²+bx+c=0有一个正根和一个负根；命题B：ac＜0，那么B是A的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

Answer 1

分析：根据韦达定理，我们先判断出命题A：一元二次方程ax²+bx+c=0有一个正根和一个负根⇒命题B：ac＜0，为真命题，即B是A的必要条件；再由一元二次方程根的个数与△符号的关系，及韦达定理，判断出命题B：ac＜0⇒命题A：一元二次方程ax²+bx+c=0有一个正根和一个负根也为真命题，进而得到答案．

解答：解：若一元二次方程ax²+bx+c=0有一个正根和一个负根
由韦达定理可得，此时x₁•x₂=

c

a

＜0，
此时ac＜0
即B是A的必要条件；
若ac＜0，
此时一元二次方程ax²+bx+c=0的△＞0，此时方程有两个不等的根
由韦达定理可得此时x₁•x₂=

c

a

＜0
即方程两个根的符号相反
即一元二次方程ax²+bx+c=0有一个正根和一个负根
故B是A的充分条件
故B是A的充要条件
故选C

点评：本题考查的知识点是必要条件、充分条件与充要条件的判断，一元二次方程根的个数与△符号的关系，及韦达定理，其中分别判断命题A⇒命题B与命题B⇒命题A的真假，是解答本题的关键．