题目内容
已知平面五边形
关于直线
对称（如图（1）），
，
，将此图形沿
折叠成直二面角，连接
、
得到几何体（如图（2））
（1）证明：
平面
；
（2）求平面
与平面
的所成角的正切值.
（1）证明详见解析；（2）
.
【解析】
试题分析：（1）先以B为坐标原点，分别以射线BF、BC、BA为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，求出各点的坐标以及
和
的坐标，进而得到两向量共线，即可证明线面平行；（2）先根据条件求出两个半平面的法向量的坐标，再求出这两个法向量所成角的余弦值，再结合同角三角函数的基本关系式可求得结果.
试题解析：（1）以B为坐标原点，分别以射线BF、BC、BA为x轴、y轴、z轴的正方向建立如图所示的坐标系.
由已知与平面几何知识得，
∴
，∴
，∴AF∥DE，
又
∥
6分
（2）由（1）得
四点共面，
，设
平面
，则
不妨令
，故
，由已知易得平面ABCD的一个法向量为
∴
，设平面
与平面
的所成角为
∴所求角的正切值为 13分.
考点：1.直线与平面平行的判定；2.用空间向量求二面角.
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