Question

（1）试讨论方程（1-k）x²+（3-k²）y²=4（k∈R）所表示的曲线；
（2）试给出方程+=1表示双曲线的充要条件．

Answer 1

【答案】分析：（1）分 3-k² ＞1-k＞0、1-k＞3-k²＞0、1-k=3-k²＞0、（1-k）（3-k²）＜0、（1-k）（3-k²）=0这几种情况进行讨论．
（2）方程表示双曲线的充要条件是：（k²+k-6）（6k²-k-1）＜0，解不等式求出 k的取值范围．
解答：解：（1）当3-k²＞1-k＞0，即 k∈（-1，1），方程所表示的曲线是焦点在x轴上的椭圆；
1-k＞3-k²＞0，即 k∈（-，-1），方程所表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆；
1-k=3-k²＞0，即 k=-1时，表示的是一个圆；
（1-k）（3-k²）＜0⇒k∈（-∞，-）∪（1，），表示的是双曲线；
k=1，k=-，表示的是两条平行直线； k=，表示的图形不存在．
（2）由（k²+k-6）（6k²-k-1）＜0得 （k+3）（k-2）（3k+1）（2k-1）＜0，
即 k∈（-3，-）∪（，2）．
点评：本题考查二元二次方程表示的曲线类型，椭圆、圆、双曲线、直线的方程的特征，体现了分类讨论的数学思想．