Question

（Ⅰ）求函数f（x）=-

2px

（p＞0）在点P(2，-2

p

)处的切方程；
（Ⅱ）过点F（1，0）的直线l交抛物线y²=4x于A、B两点，直线l₁、l₂分别切该抛物线于A、B，l₁∩l₂=M，求点M的横坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导数，可得切线的斜率，从而可得切线方程；
（Ⅱ）设出直线方程与抛物线方程联立，再分别求出切线方程，联立即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=-

2px

(p＞0)，∴f′(x)=-

2p

2 x

，
所以切线的斜率为f′(2)=-

p

2

．
∴所求切线方程为y+2

p

=-

p

2

(x-2)，即y=-

p

2

x+3

p

．…5分
（Ⅱ）设直线l的方程为x=ky+1，设A(

y 2 1

4

，y1)，B(

y 2 2

4

，y2)，
由方程组

x=ky+1 y2=4x

得，y²-4ky-4=0，∴y₁y₂=-4．…7分
因y₁与y₂异号，不妨假定y₁＞0，y₂＜0，
由y=2

x

得y′=

1

x

，所以过点A的抛物线的切线l₁斜率为

1

y 2 1 4

=

2

y1

，
所以切线l₁的方程是y-y1=

2

y1

(x-

y 2 1

4

)，即y=

2

y1

x+

y1

2

同理可求得以B为切点的l₂线方程是y=

2

y2

x+

y2

2

，
由两切线方程得

2

y1

x+

y1

2

=

2

y2

x+

y2

2

，解得x=

y1y2

4

=-1
所以点M的横坐标是-1．…12分．

点评：本题考查导数知识的运用，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．