题目内容

已知椭圆E： $数学公式$ 的上顶点为M（0，1），两条过M点动弦MA、MB满足MA⊥MB．
（1）当坐标原点到椭圆E的准线距离最短时，求此时椭圆E的方程；
（2）若直角三角形MAB的面积的最大值为 $数学公式$ ，求a的值；
（3）对于给定的实数a（a＞1），动直线是否经过一个定点？如果经过，求出该定点的坐标（用a表示）否则，说明理由．

解：（1）坐标原点到椭圆E的准线距离为 $\text{[math]}$ ，当且仅当c=1时，坐标原点到椭圆E的准线距离最短
∵c=1，b=1，∴a²=b²+c²，∴a²=2
∴椭圆E的方程为 $\text{[math]}$
（2）由MA⊥MB，可知直线MA与坐标轴不垂直，
故可设直线MA的方程为y=kx+1，直线MB的方程为 $\text{[math]}$
将y=kx+1代入椭圆E的方程，整理得（1+a²k²）x²+2a²kx=0
解得x=0或 $\text{[math]}$ ，故点A的坐标为 $\text{[math]}$
同理，点B的坐标为 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ ，
解得a=3
（3）由（2）知直线l的斜率为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
直线l的方程为 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$
∴直线l过定点 $\text{[math]}$
分析：（1）求出坐标原点到椭圆E的准线距离最短时c=1，利用a²=b²+c²，即可求得椭圆E的方程；
（2）设直线MA的方程为y=kx+1，直线MB的方程为 $\text{[math]}$ ，分别代入椭圆E的方程，求得A、B的坐标，从而可求直角三角形MAB的面积，利用最大值为 $\text{[math]}$ ，可求a的值；
（3）由（2）知直线l的斜率，从而可求直线l的方程，由此可得直线l过定点．
点评：本题考查椭圆方程，考查三角形的面积，考查直线过定点，解题的关键是正确求出三角形的面积、直线的方程．