题目内容
已知
=(c,0)(c>0),
=(n,n)(n∈R),|
|的最小值为1,若动点P同时满足下列三个条件:
①|
|=
|
|(a>c>0);
②
=λ
(其中
=(
,t),λ≠0,t∈R);
③动点P的轨迹C经过点B(0,-1).
(Ⅰ)求c的值;
(Ⅱ)求曲线C的方程;
(Ⅲ)是否存在方向向量为a=(1,k)(k≠0)的直线l,使l与曲线C交于两个不同的点M、N,且|
|=|
|?若存在,求出k的范围;若不存在,请说明理由.
OF |
OG |
FG |
①|
PF |
c |
a |
PE |
②
PE |
OF |
OE |
a2 |
c |
③动点P的轨迹C经过点B(0,-1).
(Ⅰ)求c的值;
(Ⅱ)求曲线C的方程;
(Ⅲ)是否存在方向向量为a=(1,k)(k≠0)的直线l,使l与曲线C交于两个不同的点M、N,且|
BM |
BN |
(Ⅰ):|
|=
=
,
当n=
时,|
|min=
=1,所以c=
.(3分)
(Ⅱ)∵
=λ
(λ≠0),∴PE⊥直线x=
,又|
|=
|
|(a>c>0).
∴点P在以F为焦点,x=
为准线的椭圆上.(5分)
设P(x,y),则有
=
|
-x|,点B(0-1)代入,解得a=
.
∴曲线C的方程为
+y2=1 (7分)
(Ⅲ)假设存在方向向量为a0=(1,k)(k≠0)的直线l满足条件,则可设l:y=kx+m(k≠0),
与椭圆
+y2=1联立,消去y得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0.(10分)
由判别式△>0,可得m2<3k2+1.①
设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点P(x0,y0),由|BM|=|BN|,则有BP⊥MN.
由韦达定理代入kBP=-
,可得到m=
②
联立①②,可得到 k2-1<0,(12分)
∵k≠0,∴-1<k<0或0<k1.
即存在k∈(-1,0)∪(0,1),使l与曲线C交于两个不同的点M、N,且|
|=|
|.(14分)z
FG |
(n-c)2+n2 |
2(n-
|
当n=
c |
2 |
FG |
|
2 |
(Ⅱ)∵
PE |
OF |
a2 |
c |
PF |
c |
a |
PE |
∴点P在以F为焦点,x=
a2 |
c |
设P(x,y),则有
(x-
|
| ||
a |
a2 | ||
|
3 |
∴曲线C的方程为
x2 |
3 |
(Ⅲ)假设存在方向向量为a0=(1,k)(k≠0)的直线l满足条件,则可设l:y=kx+m(k≠0),
与椭圆
x2 |
3 |
由判别式△>0,可得m2<3k2+1.①
设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点P(x0,y0),由|BM|=|BN|,则有BP⊥MN.
由韦达定理代入kBP=-
1 |
k |
1+3k2 |
2 |
联立①②,可得到 k2-1<0,(12分)
∵k≠0,∴-1<k<0或0<k1.
即存在k∈(-1,0)∪(0,1),使l与曲线C交于两个不同的点M、N,且|
BM |
BN |
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