题目内容
已知x>
，函数f(x)＝x2，h(x)＝2elnx(e为自然常数)．
(1)求证：f(x)≥h(x)；
(2)若f(x)≥h(x)且g(x)≤h(x)恒成立，则称函数h(x)的图像为函数f(x)，g(x)的“边界”．已知函数g(x)＝－4x2＋px＋q(p，q∈R)，试判断“函数f(x)，g(x)以函数h(x)的图像为边界”和“函数f(x)，g(x)的图像有且仅有一个公共点”这两个条件能否同时成立？若能同时成立，请求出实数p、q的值；若不能同时成立，请说明理由．
解析 (1)证明：记u(x)＝f(x)－h(x)＝x2－2elnx，
则u′(x)＝2x－
，
令u′(x)>0，因为x>，所以x>
.
所以函数u(x)在(，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增．
u(x)min＝u()＝f()－h()＝e－e＝0，即u(x)≥0，
所以f(x)≥h(x)．
(2)由(1)知，f(x)≥h(x)对x>恒成立，当且仅当x＝时等号成立．
记v(x)＝h(x)－g(x)＝2elnx＋4x2－px－q，
则“v(x)≥0恒成立”与“函数f(x)，g(x)的图像有且仅有一个公共点”同时成立，即v(x)≥0对x>恒成立，当且仅当x＝时等号成立．
所以函数v(x)在x＝时取极小值．
注意到v′(x)＝＋8x－p＝
，
由v′()＝0，解得p＝10.
此时v′(x)＝
，
由x>知，函数v(x)在(，)上单调递减，在(，＋∞)上单调递增，即v(x)min＝v()＝h()－g()＝－5e－q＝0，q＝－5e，
综上，两个条件能同时成立，此时p＝10，q＝－5e.
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