Question

已知直线的方向向量为及定点，动点满足，

MN

+

MF

=2

MG

，

MG

•(

MN

-

MF

)=0，其中点N在直线l上．
（1）求动点M的轨迹C的方程；
（2）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同动点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β，若α+β=θ为定值（0＜θ＜π），试问直线AB是否恒过定点，若AB恒过定点，请求出该定点的坐标，若AB不恒过定点，请说明理由．

Answer 1

（1）由题意知：|MF|=|MN|，
由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中F（2，0）为焦点，
x=-2为准线，
所以轨迹方程为y²=8x；…（4分）
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由题意得x₁≠x₂（否则α+β=π）且x₁，x₂≠0，
所以AB的斜率存在，设其方程为y=kx+b，
显然x1=

y 21

8

，x2=

y 22

8

，
将y=kx+b与y²=8x消去x，得ky²-8y+8b=0，由韦达定理知y1+y2=

8

k

，y1•y2=

8b

k

①…（6分）
（i）当θ=

π

2

时，即α+β=

π

2

时，
tanα•tanβ=1，
所以

y1

x1

•

y2

x2

=1，x1x2-y1y2=0，

y 21 y 22

64

-y1y2=0，
所以y₁y₂=64，由①知：

8b

k

=64，所以b=8k．
因此直线AB的方程可表示为y=kx+8k，
即k（x+8）-y=0所以直线AB恒过定点（-8，0）…（8分）
（ii）当θ≠

π

2

时，由α+β=θ，
得tanθ=tan（α+β）=

tanα+tanβ

1-tanαtanβ

=

8(y1+y2)

y1y2-64

，…（10分）
将①式代入上式整理化简可得：tanθ=

8

b-8k

，
所以b=

8

tanθ

+8k，
此时，直线AB的方程可表示为y=kx+

8

tanθ

+8k，
即k(x+8)-(y-

8

tanθ

)=0
所以直线AB恒过定点(-8，

8

tanθ

)
当θ=

π

2

时，AB恒过定点（-8，0），当θ≠

π

2

时，
AB恒过定点(-8，

8

tanθ

)．…（12分）