Question

若函数f（x）=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的单调递增的奇函数，且f(

1

2

)=

2

5

（I）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求满足f（t-1）+f（t）＜0的t的范围．

Answer 1

分析：（I）依题意f（0）=0，可求得b，再由f（

1

2

）=

2

5

可求得a，从而可得函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）由（I）可求得函数f（x）的解析式，利用奇函数f（x）在（-1，1）上的单调递增即可求得f（t-1）+f（t）＜0的t的范围．

解答：解：（I）∵f（x）是定义在（-1，1）上的奇函数，
∴f（0）=0，解得b=0，…1分
则f（x）=

ax

1+x

，
∴f（

1

2

）=

1 2 a

1+ 1 4

=

2

5

，
∴a=1…4分
∴函数的解析式为：f（x）=

x

1+x

（-1＜x＜1）…6分
（Ⅱ）∵f（t-1）+f（t）＜0，
∴f（t-1）＜-f（t），
∵f（-t）=-f（t），
∴f（t-1）＜f（-t），…8分
又∵f（x）在（-1，1）上是增函数，
∴-1＜t-1＜-t＜1，
∴0＜t＜

1

2

…12分

点评：本题考查函数解析式的求解，考查函数的奇偶性与单调性的应用，考查分析与运算能力，属于中档题．