题目内容

已知函数 $数学公式$ sin（ωx- $数学公式$ ）-cos（ωx- $数学公式$ ）（ω＞0）图象的两相邻对称轴间的距离为 $数学公式$ ．
（I）求f（ $数学公式$ ）的值；
（II）将函数y=f（x）的图象向右平移 $数学公式$ 个单位后，得到函数y=g（x）图象，求g（x）在区间[0， $数学公式$ ]上的单调性．

解：（I）函数 $\text{[math]}$ sin（ωx- $\text{[math]}$ ）-cos（ωx- $\text{[math]}$ ）
=2sin（ωx- $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=2sin（ωx- $\text{[math]}$ ）=-2cos（ωx）…（3分）
由条件两相邻对称轴间的距离为 $\text{[math]}$ ．
所以T=π， $\text{[math]}$ ，所以ω=2，∴f（x）=-2cos2x，f（ $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ …（6分）
（II）函数y=f（x）的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位后，得到函数y=g（x）图象，
所以g（x）=-2cos（2x- $\text{[math]}$ ），
令2kπ-π≤2x- $\text{[math]}$ ≤2kπ，k∈Z，解得kπ $\text{[math]}$ ≤x≤kπ $\text{[math]}$ ，k∈Z
又x∈[0， $\text{[math]}$ ]
所以g（x）在[0， $\text{[math]}$ ]上递减，在[ $\text{[math]}$ ]上递增…（13分）
分析：（I）利用两角差的正弦函数以及诱导公式化简函数的表达式，图象的两相邻对称轴间的距离为 $\text{[math]}$ ，求出函数的周期，求出ω然后，直接求f（ $\text{[math]}$ ）的值；
（II）将函数y=f（x）的图象向右平移 $\text{[math]}$ 个单位后，得到函数y=g（x）图象，求出函数的解析式．然后求出函数的单调区间，即可求g（x）在区间[0， $\text{[math]}$ ]上的单调性．
点评：本题是中档题，考查三角函数的化简求值，函数图象的平移，函数的单调性的应用，考查计算能力．