题目内容

(06年江西卷文)(12分)

如图,椭圆的右焦点为,过点的一动直线绕点转动,并且交椭圆于两点,为线段的中点.

(1)求点的轨迹的方程;

(2)若在的方程中,令

设轨迹的最高点和最低点分别为.当为何值时,为一个正三角形?

解析:如图,(1)设椭圆Q:(a>b>0)

上的点A(x1,y1)、B(x2,y2),又设P点坐标为P(x,y),则

1°当AB不垂直x轴时,x1¹x2

由(1)-(2)得

b2(x1-x2)2x+a2(y1-y2)2y=0

     

\b2x2+a2y2-b2cx=0…………(3)

2°当AB垂直于x轴时,点P即为点F,满足方程(3)

故所求点P的轨迹方程为:b2x2+a2y2-b2cx=0

(2)因为轨迹H的方程可化为:

\M(),N( ,-),F(c,0),使△MNF为一个正三角形时,则

tan,即a2=3b2. 由于

,则1+cosq+sinq=3 sinq,得q=arctan

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