Question

已知幂函数y＝f(x)＝ (p∈Z)在(0，＋∞)上是增函数，且是偶函数.

(1)求p的值并写出相应的函数f(x)；

(2)对于(1)中求得的函数f(x)，设函数g(x)＝－qf(f(x))＋(2q－1)f(x)＋1.

试问：是否存在实数q(q＜0)，使得g(x)在区间(－∞，－4]上是减函数，且在(－4,0)上是增函数；若存在，请求出来，若不存在，说明理由.

Answer 1

(1)∵幂函数y＝x^α在(0，＋∞)上是增函数时，α＞0，∴－p²＋p＋＞0，即p²－2p－3＜0，解得－1＜p＜3，又p∈Z，∴p＝0,1,2.

当p＝0时，y＝不是偶函数；

当p＝1时，f(x)＝x²是偶函数；

当p＝2时，f(x)＝不是偶函数，

∴p＝1，此时f(x)＝x².

(2)由(1)得g(x)＝－qx⁴＋(2q－1)x²＋1，

设x₁＜x₂，则g(x₁)－g(x₂)＝q(x₂⁴－x₁⁴)＋(2q－1)·(x₁²－x₂²)＝(x₂²－x₁²)[q(x₁²＋x₂²)－(2q－1)].

若x₁＜x₂≤－4，则x₂²－x₁²＜0且x₁²＋x₂²＞32，

要使g(x)在(－∞，－4]上是减函数，

必须且只需q(x₁²＋x₂²)－(2q－1)＜0恒成立.

即2q－1＞q(x₁²＋x₂²)恒成立.

由x₁²＋x₂²＞32且q＜0，得q(x₁²＋x₂²)＜32q，

只需2q－1≥32q成立，

则2q－1＞q(x₁²＋x₂²)恒成立.

∴当q≤－时，g(x)在(－∞，－4]上是减函数，同理可证，当q≥－时，g(x)在(－4,0)上是增函数，

∴当q＝－时，g(x)在(－∞，－4]上是减函数，

在(－4,0)上是增函数.