Question

建筑业中，建筑成本费用由城市土地使用权取得费和材料工程费两部分组成．某市今年的土地使用权取得费为2000元/m²；材料工程费在建造第一层时为400元/m²；以后每增加一层费用增加40元/m²；求楼高设计为多少层时，才能使平均每平方米建筑面积的成本费最省．

Answer 1

分析：可以设楼高设计为n层时，平均每平方米建筑面积的成本费为y元，每平方米建筑面积的成本费有两部分组成，一部分是土地使用权取得费，一部分是材料工程费，将两部分的费用相加再除以层数n，即可求出平均每平方米建筑面积的成本费，最后利用基本不等式进行求解即可．

解答：解：设楼高设计为n层时，平均每平方米建筑面积的成本费为y元．（n∈N^*） …（2分）依题意得：
y=

2000+[400+(400+40)+(400+40×2)+…+(400+40×(n-1))]

n

…（6分）
=

2000+400n+40[1+2+3+…+(n-1)]

n

=

2000+380n+20n2

n

=20(

100

n

+n+19)≥20(2×10+19)=780                …（10分）
（当且仅当n=10时，等号成立）                           …（12分）
答：楼高设计为10层时，平均每平方米建筑面积的成本费最省．…（14分）

点评：此题是关于建造楼房的问题，在生活中，安居工程确实是老百姓比较关心的问题之一，解决此题的关键要读懂题意，本题是等差数列的模型，列出合适的式子，进而求解．