题目内容
函数
．（1）如果函数f（x）在点A（2，f（2））处的切线的斜率等于3，求实数a的值；
（2）如果函数f（x）在区间[1，+∞）上无极值，求实数a的取值范围．
【答案】分析：（1）求得f'（x）=x2+ax+a2-1，根据已知条件可得f′（2）=3，可以得出a值；
（2）函数f（x）在区间[1，+∞）上无极值，分类两种情况讨论：①f′（x）=0其△≤0，②f′（x）=0其△＞0，则f′（x）=0的二根应小于等于1，利用实根分布寻找关于a的不等式，求出实数a的取值范围．
解答：解：（1）由条件，f′（x）=x2+ax+a2-1，
由导数的几何意义可得f′（2）=3，解得a=0或-2；
（2）函数f（x）在区间[1，+∞）上无极值，则
①f′（x）=0其△≤0，则f（x）在R上单调递增，
则f（x）在区间[1，+∞）上无极值，解得
；
②f′（x）=0其△＞0，则f′（x）=0的二根应小于等于1，
由实根分布可得，
⇒
；
综上，
．
点评：本题主要考查了函数的单调性与函数导数的关系的应用，考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系，体现了方程函数与转化思想的应用．
（2）函数f（x）在区间[1，+∞）上无极值，分类两种情况讨论：①f′（x）=0其△≤0，②f′（x）=0其△＞0，则f′（x）=0的二根应小于等于1，利用实根分布寻找关于a的不等式，求出实数a的取值范围．
解答：解：（1）由条件，f′（x）=x2+ax+a2-1，
由导数的几何意义可得f′（2）=3，解得a=0或-2；
（2）函数f（x）在区间[1，+∞）上无极值，则
①f′（x）=0其△≤0，则f（x）在R上单调递增，
则f（x）在区间[1，+∞）上无极值，解得
；②f′（x）=0其△＞0，则f′（x）=0的二根应小于等于1，
由实根分布可得，
⇒
；综上，
．点评：本题主要考查了函数的单调性与函数导数的关系的应用，考查了一元二次方程的根的分布与系数的关系，体现了方程函数与转化思想的应用．
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有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，
]上是减函数，在[
（x＞0）的值域为[6，+∞），求b的值；
（常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F（x）=
+
（n是正整数）在区间[
，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．
有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，
]上是减函数，在[
，+∞）上是增函数．
（x＞0）的值域为[6，+∞），求b的值；
（常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
和y=x2+
（常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F（x）=
+
（n是正整数）在区间[
，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．
有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，
]上是减函数，在[
，+∞）上是增函数．
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+
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，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．
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]上是减函数，在[
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（常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F（x）=
+
（n是正整数）在区间[
，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．