题目内容

任意正整数n都可以表示为n=a0×
2
k
 
+a1×
2
k-1
 
+…+ak-1×
2
1
 
+ak×
2
0
 
的形式,其中a0=1,当1≤i≤k时,a1=0或ai=1.现将等于0的af的总个数记为f(n)(例如:l=l×20,4=l×22+0×21十0×20,从而f(1)=0,f(4)=2.由此可以计算求得
2
f(1)
 
+
2
f(2)
 
+
2
f(3)
 
+…+
2
f(127)
 
=
1093
1093
分析:先列出如表所示,通过分析、猜想、归纳出其规律,进而可计算出其和.
解答:解:列表如下:
由表格可得到如下规律:正整数k从2n到2n+1-1,则∑2f(k)=3n-1
因此:
2
f(1)
 
+
2
f(2)
 
+
2
f(3)
 
+…+
2
f(127)
 
=30+31+32+33+34+35+36
=
1×(37-1)
3-1
=1093.
故答案为1093.
点评:通过列表找出其规律是解题的关键.
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