Question

已知{a_n}是首项为2，公比为的等比数列，S_n为它的前n项和．
（1）用S_n表示S_n+1；
（2）是否存在自然数c和k，使得成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用等比数列的前n项和公式分别表示出s_n与s_n+1，对比找出其关系即可；
（2）假设存在自然数c和k，利用（1）的结论及s_k的范围，推出c的可能取值，然后逐一验证即可．
解答：解（1）由，得．
（2）要使，只要．
因为，所以，
故只要．①
因为S_k+1＞S_k（k∈N），所以，
又S_k＜4，故要使①成立，c只能取2或3．
当c=2时，因为S₁=2，所以当k=1时，c＜S_k不成立，从而①不成立．
因为，由S_k＜S_k+1（k∈N），得，所以当k≥2时，，从而①不成立．
当c=3时，因为S₁=2，S₂=3，
所以当k=1，2时，c＜S_k不成立，从而①不成立．
因为，又，
所以当k≥3时，，从而①不成立．
故不存在自然数c、k，使成立．
点评：本题考查了等比数列的前n项和公式以及不等式的有关知识，利用了极限思想及分类讨论的数学思想，综合性和逻辑推理性较强，难度较大．