Question

已知幂函数y=x^p-3（p∈N₊）的图象关于y轴对称，且在（0，+∞）上是减函数，求满足(a+1)

p

3

＜(3-2a)

p

3

的a的取值范围．

Answer 1

分析：利用幂函数在（0，+∞）上是减函数判断出指数小于0，由图象关于y轴对称得到指数是偶数，求出p的值；利用幂函数的单调性将不等式转化为一次不等式，求出解集．

解答：解：由幂函数y=x^p-3（p∈N₊）在（0，+∞）上是减函数，得p-3＜0，即p＜3；
又幂函数y=x^p-3（p∈N₊）的图象关于y轴对称，
∴p-3为偶数，
∴正整数p=1．
所以不等式(a+1)

p

3

＜(3-2a)

p

3

即为(a+1)

1

3

＜(3-2a)

1

3

；
又因为

1

3

＞0，
所以a+1＜3-2a，解得a＜

2

3

；
故a的取值范围是(-∞，

2

3

)．

点评：本题考查幂函数的性质：幂函数奇、偶性与幂指数有关、幂函数的单调性与幂指数有关．