Question

对任意实数a，b，c，下列命题：（1）“a=b”是“ac=bc”的充分条件；（2）“a+1是无理数”是“a是无理数”的必要条件；（3）“a＜5”是“a＜3”的必要条件．其中真命题的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．0

Answer 1

分析：“a=b”⇒“ac=bc”为真命题，故（1）为真命题；“a+1是无理数”⇒“a是无理数”为真命题，
“a是无理数”⇒“a+1是无理数”也为真命题，故（2）为真命题；“a＜5”⇒“a＜3”为假命题，
“a＜3”⇒“a＜5”为真命题，故（3）为真命题．

解答：解：∵（1）中“a=b”⇒“ac=bc”为真命题，
但当c=0时，“ac=bc”⇒“a=b”为假命题，
故“a=b”是“ac=bc”的充分不必要条件，故（1）为真命题；
∵（2）中“a+1是无理数”⇒“a是无理数”为真命题，
“a是无理数”⇒“a+1是无理数”也为真命题，
故“a+1是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故（2）为真命题；
∵（3）中“a＜5”⇒“a＜3”为假命题，
“a＜3”⇒“a＜5”为真命题，
故“a＜5”是“a＜3”的必要条件，故（3）为真命题．
故选C．

点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．