题目内容
如图1，某学校田径场上有一旗杆OP，为了测量它的高度，在地面上选一基线AB，设其长度为d，在A点处测得P点的仰角为α，在B点处测得P点的仰角为β．（1）若AB=20，α=30°，β=45°，且∠AOB=30°，求旗杆的高度h；
（2）经分析若干测得的数据后，发现将基线AB调整到线段AO上（如图2），α与β之差尽量大时，可以提高测量精确度，设调整后AB的距离为d，tanβ=
| 4 | d |
分析：（1）利用余弦定理，可得AB2=OA2+OB2-2OA•OBcos∠AOB，即可求旗杆的高度h；
（2）计算tan（β-α），利用基本不等式，结合正切函数的单调性，即可得到结论．
（2）计算tan（β-α），利用基本不等式，结合正切函数的单调性，即可得到结论．
解答：解：（1）在Rt△POA中，OA=
h，在Rt△POB中，OB=h，
在Rt△AOB中，d2=（
h）2+h2-2•
h•hcos30°，其中：d=20，得：h=20，
故旗杆的高度为20
（2）∵tanα=
，tanβ=
∴tan（β-α）=
=
=
≤
=
=
当且仅当d（h+4）=
即d=
时“=”成立
故当d=
时，tan（β-α）最大，
∵0＜α＜β＜
，∴0＜β-α＜
，
∴当d=
时，β-α最大
| 3 |
在Rt△AOB中，d2=（
| 3 |
| 3 |
故旗杆的高度为20
（2）∵tanα=
| h | ||
d+
|
| 4 |
| d |
∴tan（β-α）=
| ||||
1+
|
| 16d |
| d2(h+4)+16h |
| 16 | ||
d(h+4)+
|
| 16 | ||
2
|
| 2 | ||
|
| 2 | ||
5
|
当且仅当d（h+4）=
| 16h |
| d |
| 20 | ||
|
故当d=
| 20 | ||
|
∵0＜α＜β＜
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
∴当d=
| 20 | ||
|
点评：本题考查余弦定理的运用，考查差角的正切公式，考查正切函数的单调性，属于中档题．
练习册系列答案
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，旗杆的实际高度为25，试问d为何值时，β-α最大？
，旗杆的实际高度为25，试问d为何值时，β-α最大？
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