Question

在等比数列{a_n}（n∈N^*）中，a₁＞1，公比q＞0．设b_n=log₂a_n，且b₁+b₃+b₅=6，b₁b₃b₅=0．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）求{b_n}的前n项和S_n及{a_n}的通项a_n；
（3）试比较a_n与S_n的大小．

Answer 1

分析：（1）由题设知b_n+1-b_n=log₂

an+1

an

=log₂q为常数．所以数列{b_n}为等差数列且公差d=log₂q．
（2）根据题设条件先求首项和公差及公比．然后再求{b_n}的前n项和S_n及{a_n}的通项a_n．
（3）根据题设条件分情况讨论，能够比较a_n与S_n的大小．

解答：（1）证明：∵b_n=log₂a_n，
∴b_n+1-b_n=log₂

an+1

an

=log₂q为常数．
∴数列{b_n}为等差数列且公差d=log₂q．
（2）解：∵b₁+b₃+b₅=6，∴b₃=2．
∵a₁＞1，∴b₁=log₂a₁＞0．
∵b₁b₃b₅=0，∴b₅=0．
∴

b1+2d=2 b1+4d=0.

解得

b1=4 d=-1.

∴S_n=4n+

n(n-1)

2

×（-1）=

9n-n2

2

．
∵

log2q=-1 log2a1=4

∴

q= 1 2 a1=16.

∴a_n=2^5-n（n∈N^*）．
（3）解：显然a_n=2^5-n＞0，当n≥9时，S_n=

n(9-n)

2

≤0．
∴n≥9时，a_n＞S_n．
∵a₁=16，a₂=8，a₃=4，a₄=2，a₅=1，a₆=

1

2

，a₇=

1

4

，a₈=

1

8

，S₁=4，S₂=7，S₃=9，S₄=10，S₅=10，S₆=9，S₇=7，S₈=4，
∴当n=3，4，5，6，7，8时，a_n＜S_n；
当n=1，2或n≥9时，a_n＞S_n．

点评：本题主要考查了数列的基本知识和分类讨论的思想．