Question

已知、分别是与x轴、y轴正方向相同的单位向量，（a∈R），对任意正整数n，．
（1）若，求a的值；
（2）求向量；
（3）设向量，求最大整数a的值，使对任意正整数n，都有x_n＜y_n成立．

Answer 1

解：（1）由题意，
所以51a+12=0，
解得．
（2）
=
=
（3）x_n=51n+a-51，y_n=3•2^n-1-1，
由51n+a-51＜3•2^n-1-1恒成立，
得a＜3•2^n-1-51n+50恒成立，
令a_n=3•2^n-1-51n+50，
只需求数列{a_n}得最小项．
由，
得6≤n≤6，
即n=6，
a₆=-160，
所以a=-161．
分析：（1）由题意，知51a+12=0，由此能求出a的值．
（2）由题意=，由此能求出结果．
（3）x_n=51n+a-51，y_n=3•2^n-1-1，由51n+a-51＜3•2^n-1-1恒成立，得a＜3•2^n-1-51n+50恒成立，令a_n=3•2^n-1-51n+50，只需求数列{a_n}得最小项．由此能求出最大整数a的值，使对任意正整数n，都有x_n＜y_n成立．
点评：本题考查数列和向量的综合，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．