Question

已知变量x、y满足条件

x+y≤6 x-y≤2 x≥0 y≥0

，若目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在（4，2）处取得最大值，若p=a+

1

a+4

则p的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先画出条件

x+y≤6 x-y≤2 x≥0 y≥0

对应的平面区域，由目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在（4，2）处取得最大值找到a＞1．再对所求p变形后用函数y=x+

1

x

在[1，+∞）上是增函数来求p的取值范围即可．

解答：解：满足约束条件

x+y≤6 x-y≤2 x≥0 y≥0

的平面区域如图示．
因为目标函数z=ax+y（其中a＞0）仅在（4，2）处取得最大值，
所以a＞1?a+4＞5．
又因为p=a+

1

a+4

=a+4+

1

a+4

-4，
且y=x+

1

x

在[1，+∞）上是增函数，
所以p＞

6

5

．
故答案为 （

6

5

，+∞）．

点评：本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求线性目标函数在某一点处有最值时对应参数的取值范围．又考查了函数y=x+

1

x

单调性的应用．