题目内容

请考生注意：重点高中学生做（2）（3）．一般高中学生只做（1）（2）．
已知函数 $数学公式$
（1）若曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，求a的值；
（2）当a＞0时，讨论f（x）的单调性；
（3）当 $数学公式$ 时，设g（x）=x²-bx+1，若对任意x₁∈（0，2]，都存在x₂∈（0，2]，都存在x₂∈[1，2]使f（x₁）≤g（x₂），求实数b的取值范围．

解：（1）∵函数 $\text{[math]}$
∴f′（x）= $\text{[math]}$
∵曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，
∴f′（1）=f′（3），
∴ $\text{[math]}$
∴6-8a=0
∴a= $\text{[math]}$ ；
（2）若a=1时， $\text{[math]}$ ，∴x∈（0，1），f′（x）＞0，x∈（1，+∞），f′（x）＜0
∴y=f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数；
若a≠1时，令f′（x）=0，可得x₁=1，x₂= $\text{[math]}$
①若 $\text{[math]}$ ，则a≥1，∴x∈（0，1），f′（x）＞0，x∈（1，+∞），f′（x）＜0
∴y=f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数；
②若 $\text{[math]}$ 0，即0＜a＜1时
（Ⅰ）0＜ $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 1，在（0， $\text{[math]}$ ），（1，+∞）上为增函数，在（ $\text{[math]}$ ，1）上为减函数
（Ⅱ） $\text{[math]}$ 时，在（0，1），（ $\text{[math]}$ ，+∞）上为增函数，在（1， $\text{[math]}$ ）上为减函数
（Ⅲ） $\text{[math]}$ 时，f′（x）＞0恒成立，则f（x）在（0，+∞）上恒为增函数．
（3）当 $\text{[math]}$ 时，由（1）知，函数 $\text{[math]}$ 在（0，1）是增函数，在（1，2）是减函数
∴f（x）在（0，2]的最大值为f（1）=- $\text{[math]}$
若对任意x₁∈（0，2]，都存在x₂∈（0，2]，都存在x₂∈[1，2]使f（x₁）≤g（x₂），等价于函数f（x）在（0，2]的最大值- $\text{[math]}$ 不大于g（x）在[1，2]的最大值
下面求g（x）=x²-bx+1在[1，2]上的最大值
∵g（x）=x²-bx+1的对称轴是直线 $\text{[math]}$
①当 $\text{[math]}$ ，即b≤3时，g（x）在[1，2]为增函数，则g（x）_max=g（2）=5-2b，
∴ $\text{[math]}$ ，∴b≤ $\text{[math]}$ ，满足b≤3；
②当 $\text{[math]}$ ，即b＞3时，g（x）在[1，2]为减函数，则g（x）_max=g（1）=2-b，
∴ $\text{[math]}$ ，∴b≤ $\text{[math]}$ ，∴3＜b≤ $\text{[math]}$ ，
综上，实数b的取值范围为b≤ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）求导数，利用曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，即可求得a的值；
（2）若a=1时，利用导数的正负可得y=f（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数；
若a≠1时，令f′（x）=0，可得x₁=1，x₂= $\text{[math]}$ ，结合函数的定义域分类讨论，即可求得结论；
（3）当 $\text{[math]}$ 时，f（x）在（0，2]的最大值为f（1）=- $\text{[math]}$ ，若对任意x₁∈（0，2]，都存在x₂∈（0，2]，都存在x₂∈[1，2]使f（x₁）≤g（x₂），等价于函数f（x）在（0，2]的最大值- $\text{[math]}$ 不大于g（x）在[1，2]的最大值，利用配方法确定函数g（x）=x²-bx+1在[1，2]上的最大值，即可得到实数b的取值范围．
点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．