Question

D、E、F分别是△ABC的三条边AB、BC、CA上的动点,且它们在初始时刻分别从A、B、C出发,各以一定速度沿各边向B、C、A移动.当t=1时,分别到达B、C、A.求证:在0≤t≤1的任一时刻t₁,△DEF的重心不变.

Answer 1

图11

证明:如图11.

    建立如图所示的平面直角坐标系,设A、B、C坐标分别为(0,0),(a,0),(m,n).

    在任一时刻t₁∈(0,1),因速度一定,其距离之比等于时间之比,有=λ,由定比分点的坐标公式可得D、E、F的坐标分别为(at₁,0),(a+(m-a)t₁,nt₁),(m-mt₁,n-nt₁).由重心坐标公式可得△DEF的重心坐标为().

当t=0或t=1时,△ABC的重心也为(),

故对任一t₁∈[0,1],△DEF的重心不变.

点评:主要考查定比分点公式及建立平面直角坐标系,只要证△ABC的重心和时刻t₁的△DEF的重心相同即可.