题目内容
已知函数f(x)=4sin2(x+
)+4
cos2x-(1+2
)，x∈R．
（I）求函数f（x）图象的对称中心和单调递增区间；
（II）△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足a，b，c依次成等比数列，求f（B）的最值．
| π |
| 4 |
| 3 |
| 3 |
（I）求函数f（x）图象的对称中心和单调递增区间；
（II）△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足a，b，c依次成等比数列，求f（B）的最值．
分析：（1）利用三角恒等变换化简函数f（x）的解析式为f（x）=4sin(2x+
)+1，由此求得它的对称中心和单调增区间．
（2））△ABC中，由等比数列的定义、余弦定理以及基本不等式求得cosB≥
，从而得到B的范围，再根据正弦函数的定义域和值域求得f（B）的最值．
| π |
| 3 |
（2））△ABC中，由等比数列的定义、余弦定理以及基本不等式求得cosB≥
| 1 |
| 2 |
解答：解：（1）f(x)=2[1-cos(2x+
)]+2
cos2x-1=2sin2x+2
cos2x+1=4sin(2x+
)+1，…（2分）．
令2x+
=kπ，k∈z，解得 x=
-
，k∈z，
故函数f（x）图象的对称中心为(
-
，1)，k∈Z…（4分）．
由 2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，k∈Z，求得kπ-
≤x≤kπ+
，
故函数f（x）的单调递增区间为[kπ-
，kπ+
]，k∈Z…（6分）．
（2））△ABC中，∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，
由余弦定理可得 cosB=
=
≥
=
，∴0＜B≤
…（8分）．
由于f（B）=4sin（2B+
）+1，
＜2B+
≤π，
当且仅当2B+
=
，即B=
时，f（B）max=5，…（10分）．
当且仅当2B+
=π，即B=
时，f（B）min=1…（12分）．
| π |
| 2 |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 3 |
令2x+
| π |
| 3 |
| kπ |
| 2 |
| π |
| 6 |
故函数f（x）图象的对称中心为(
| kπ |
| 2 |
| π |
| 6 |
由 2kπ-
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
故函数f（x）的单调递增区间为[kπ-
| 5π |
| 12 |
| π |
| 12 |
（2））△ABC中，∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，
由余弦定理可得 cosB=
| a2+c2-b2 |
| 2ac |
| a2+c2-ac |
| 2ac |
| 2ac-ac |
| 2ac |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
由于f（B）=4sin（2B+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
当且仅当2B+
| π |
| 3 |
| π |
| 2 |
| π |
| 12 |
当且仅当2B+
| π |
| 3 |
| π |
| 3 |
点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的对称性、单调性、定义域和值域，等比数列的定义和性质，基本不等式的应用，属于中档题．
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，则它是（ ）
| ||
| |x-3|-3 |
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