Question

设，函数.

（1）当时，求曲线在处的切线方程；

（2）当时，求函数的最小值.

Answer 1

同下

解析:

（1）当a＝1时，f(x)＝x²＋|lnx－1|．

当0＜x＜e时，f(x)＝x²－lnx＋1，f ??(x)＝2x－． ……………………………………2分

令x＝1得f(1)＝2，f ??(1)＝1，所以切点为(1，2)，切线的斜率为1．

所以曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为x－y＋1＝0． …………………………………5分

（2) ①当x≥e时，f(x)＝x²＋alnx－a，f??(x)＝2x＋（x＞e）．

因为a＞0，所以f??(x)＞0恒成立．所以f(x)在[e，＋∞)上为增函数．

故当x＝e时，y_min＝f(e)＝e²． ………………………………………………………………7分

②当x≤e，即x∈[1，e]时，

f(x)＝x²－alnx＋a，f ??(x)＝2x－＝(x＋)(x－)（1＜x＜e）．

(i)当≤1，即0＜a≤2时，f ??(x)在x∈（1，e）时为正数，所以f(x)在[1，e]上为增函数．故当x＝1时，y_min＝1＋a，且此时f(1)＜f(e)．

(ii)当1＜＜e，即2＜a＜2e²时，f ??(x)在x∈(1，)时为负数，在x∈(，e)时为正数，所以f(x)在[1，)上为减函数，在(，e]上为增函数．

故当x＝时，y_min＝－ln，且此时f()＜f(e)．

(iii)当≥e，即a≥2e²时，f ??(x) 在x∈(1，e)时为负数，所以f(x)在[1，e]上为减函数．在故当x＝e时，y_min＝f(e)＝e²．………………………………………………………………13分

综上所述，

当a≥2e²时，f(x)在x≥e时和1≤x≤e时的最小值都是e²，所以此时f(x)的最小值f(e)＝e²；

当2＜a＜2e²时，f(x)在x≥e时最小值为e²，在1≤x≤e时，最小值为f()＝－ln()，

而f()＜f(e)，所以此时f(x)的最小值f()＝－ln．

当0＜a≤2时，f(x)在x≥e时最大值为e²，在1≤x≤e时最小值为f(1)＝1＋a，而f(1)＜f(e)，所以此时f(x)的最小值为f(1)＝1＋a．

所以函数y＝f(x)的最小值为y_min＝……………………16分