题目内容

已知函数 $数学公式$ 的值域是（-∞，-2]∪[4，+∞），求实数m，n的值．

解：设t=x+n，则x=t-n
$\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =t+ $\text{[math]}$ +m-2n
当t＞0时，则y≥2 $\text{[math]}$ +m-2n
当t＜0时，则y≤-2 $\text{[math]}$ +m-2n
∵函数 $\text{[math]}$ 的值域是（-∞，-2]∪[4，+∞），
∴2 $\text{[math]}$ +m-2n=4且-2 $\text{[math]}$ +m-2n=-2
解得 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$
分析：把函数的分母看做一个整体，用t表示，把函数中所有的x都用含t的式子表示，由均值定理，就可求出函数的值域，又因为已知函数的值域为（-∞，-2]∪[4，+∞），两个值域相同，就可求出m，n的值．
点评：本题主要考查了应用均值定理求函数的值域的，注意凑均值定理的形式，另外注意观察均值定理的条件是否具备．