Question

观察如图三角形数表：
假设第n行的第二个数为a_n（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）依次写出第六行的所有6个数字；
（Ⅱ）归纳出a_n+1与a_n的关系式并求出a_n的通项公式．

Answer 1

分析：（1）依据“中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和”，得到第六行的所有6个数字．
（2）依据“中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和”，则第二个数等于上一行第一个数与第二个数的和，即有a_n+1=a_n+n（n≥2），再由累加法求解．

解答：解：（Ⅰ）依据“中间的数从第三行起，每一个数等于它两肩上的数之和”，
得到第六行的所有6个数字分别为：6，16，25，25，16，6．
（Ⅱ）依题意a_n+1=a_n+n（n≥2），a₂=2．
所以：a₃-a₂=2，a₄-a₃=3，a_n-a_n-1=n-1，
累加得a_n-a₂=2+3+…+（n-1）=

(n+1)(n-2)

2

，
所以a_n=

n2

2

-

n

2

+1，（n＞2）
当n=2时a₂=

1

2

×2²-

1

2

×2+1=2，也满足上述等式，
故a_n=

n2

2

-

n

2

+1．

点评：本题通过三角数表构造了一系列数列，考查了数列的通项及求和的方法，还考查了数列间的关系，入题较难，知识点，方法活，属中档题．