Question

已知x²+px+q＜0的解集为{x|＜-

1

2

x＜

1

3

}，若f（x）=qx²+px+1
（1）求不等式f（x）＞0的解集．
（2）若f（x）＜

a

6

恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）依题意，-

1

2

，

1

3

是方程x²+px+q=0的两实数根，可求得p，q，从而可求不等式f（x）＞0的解集；
（2）f（x）＜

a

6

恒成立，?x²-x+a-6＞0恒成立?△＜0，从而可求得a的取值范围．

解答：解：∵（1）x²+px+q＜0的解集为{x|＜-

1

2

x＜

1

3

}，
∴-

1

2

，

1

3

是方程x²+px+q=0的两实数根，…2分
由根与系数的关系得：

1 3 - 1 2 =-p 1 3 ×(- 1 2 )=q

，
∴

p= 1 6 q=- 1 6

…4分
∵f（x）＞0，
∴不等式qx²+px+1＞0可化为-

1

6

x²+

1

6

x+1＞0，
即x²-x-6＜0，∴-2＜x＜3，
∴不等式qx²+px+1＞0的解集为{x|-2＜x＜3}．…（6分）
（2）依题意，f（x）＜

a

6

，则-

1

6

x²+

1

6

x+1＜

a

6

，即x²-x+a-6＞0恒成立，…8分
开口向上，所以△=1-4（a-6）＜0，…10分
解得a＞

25

4

…（12分）

点评：本题考查恒成立问题，着重考查一元二次不等式的解法，属于中档题．