Question

若m∈R，命题p：设x₁和x₂是方程x²﹣ax﹣3=0的两个实根，不等m²﹣2m﹣4≥|x₁﹣x₂|对任意实数a∈[﹣2，2]恒成立命题q：“4x+m＜0”是“x²﹣x﹣2＞0”的充分不必要条件．求使p且￢q为真命题的m的取值范围．

Answer 1

解：∵x₁，x₂是方程x²﹣ax﹣3=0的两个实根
∴x₁+x₂=a，x₁x₂=﹣3
∴|x₁﹣x₂|==
∵a∈[﹣2，2]
∴∈[2，4]
∵不等m²﹣2m﹣4≥|x₁﹣x₂|对任意实数a∈[﹣2，2]恒成立
∴m²﹣2m﹣4≥|x₁﹣x₂|_max在a∈[﹣2，2]成立即可
∴m²﹣2m﹣4≥4解得m≤﹣2或m≥4
∴p：m≤﹣2或m≥4
∵x²﹣x﹣2＞0 ∴x＜﹣1或x＞2
∵4x+m＜0∴x＜﹣
∵“4x+m＜0”是“x²﹣x﹣2＞0”的充分不必要条件
∴﹣＜﹣1解得m＞4
∴q：m＞4
∵p且￢q为真命题
∴{m|m≤﹣2或m≥4}∩{m|m≤4}={m|m≤﹣2或m=4}