Question

椭圆的离心率等于

1

2

，且与双曲线

x2

16

-

y2

9

=1有相同的焦点，
（1）求双曲线的焦点坐标；           
（2）求此椭圆方程．

Answer 1

分析：（1）根据题中双曲线的方程算出c=5，即可得到此双曲线的焦点坐标；
（2）由双曲线的焦点在x轴上，结合题意设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，根据平方关系与离心率的公式建立关于a、b的方程组，解之即可得到椭圆的方程．

解答：解：（1）∵双曲线

x2

16

-

y2

9

=1中，c=

16+9

=5，
∴双曲线的焦点为（±5，0）．
（2）∵椭圆的离心率等于

1

2

，且与双曲线

x2

16

-

y2

9

=1有相同的焦点，
∴设椭圆的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
可得

c a = a2-b2 a = 1 2 a2-b2 =5

，解之得a²=100且b²=75．
因此，所求椭圆的方程为

x2

100

+

y2

75

=1．

点评：本题给出焦点相同的椭圆与双曲线，在已知椭圆的离心率与双曲线的方程情况下求椭圆的方程．着重考查了椭圆、双曲线的标准方程及其简单几何性质等知识，属于基础题．