题目内容

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，a_n=2 $数学公式$ -1（n∈N^*）．
（1）求a_n的通项公式；
（2）设T_n= $数学公式$ + $数学公式$ +…+ $数学公式$ ，P_n= $数学公式$ + $数学公式$ +…+ $数学公式$ ，求2T_n-P_n，并确定最小的正整数n，使2T_n-P_n＞ $数学公式$ ．

解：（1）当n=1时 $\text{[math]}$
又由已知 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
化简得a_n+1²-a_n²-2a_n+1-2a_n=0?（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0
∵a_n＞0∴a_n+1-a_n=2
∴a_n=1+（n-1）×2=2n-1（n∈N^*）
（2）∵ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
随n的增大A=2T_n-P_n的值也增大n=4时 $\text{[math]}$
n=5时， $\text{[math]}$ 故所求n=5
分析：（1）先看当n=1时，求得a₁，进而根据数列的递推式，利用a_n+1=S_n+1-S_n求得（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0进而求得a_n+1-a_n=2
进而根据等差数列的性质求得数列的通项公式．
（2）根据（1）中的a_n可数列的前n项的和S_n，进而根据等比数列的求和公式求得T_n，利用裂项法求得P_n，则2T_n-P_n可求．根据2T_n-P_n的表达式可知，随n的增大，其结果也增大，进而可判断出n从5开始2T_n-P_n＞ $\text{[math]}$ ．
点评：本题主要考查了数列的应用，考查了考生综合分析问题和解决问题的能力．

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