Question

设函数的图像在处取得极值4.
(1)求函数的单调区间；
(2)对于函数，若存在两个不等正数，当时，函数的值域是，则把区间叫函数的“正保值区间”.问函数是否存在“正保值区间”，若存在，求出所有的“正保值区间”；若不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）递增区间是和，递减区间是；（2）不存在.

试题分析：（1）求导，利用极值点的坐标列出方程组，解出，确定函数解析式，再求导，求单调区间；（2）先假设存在“正保值区间”，通过已知条件验证是否符合题意，排除不符合题意得情况.
试题解析：（1），                   1分
依题意则有：，即 解得 v        3分
∴.令，
由解得或，v                     5分
所以函数的递增区间是和，递减区间是        6分
（2）设函数的“正保值区间”是，因为，
故极值点不在区间上；
①若极值点在区间，此时，在此区间上的最大值是4，不可能等于；故在区间上没有极值点；                 8分
②若在上单调递增，即或，
则，即，解得或不符合要求；       10分
③若在上单调减，即1<s<t<3，则，
两式相减并除得：，    ①
两式相除可得，即，
整理并除以得：，②
由①、②可得，即是方程的两根，
即存在，不合要求.                   12分
综上可得不存在满足条件的s、t，即函数不存在“正保值区间”。    13分