题目内容

设函数的图像在处取得极值4.
(1)求函数的单调区间;
(2)对于函数,若存在两个不等正数,当时,函数的值域是,则把区间叫函数的“正保值区间”.问函数是否存在“正保值区间”,若存在,求出所有的“正保值区间”;若不存在,请说明理由.
(1)递增区间是,递减区间是;(2)不存在.

试题分析:(1)求导,利用极值点的坐标列出方程组,解出,确定函数解析式,再求导,求单调区间;(2)先假设存在“正保值区间”,通过已知条件验证是否符合题意,排除不符合题意得情况.
试题解析:(1),                   1分
依题意则有:,即 解得 v        3分
.令
解得,v                     5分
所以函数的递增区间是,递减区间是        6分
(2)设函数的“正保值区间”是,因为
故极值点不在区间上;
①若极值点在区间,此时,在此区间上的最大值是4,不可能等于;故在区间上没有极值点;                 8分
②若上单调递增,即
,即,解得不符合要求;       10分
③若上单调减,即1<s<t<3,则
两式相减并除得:,    ①
两式相除可得,即
整理并除以得:,②
由①、②可得,即是方程的两根,
即存在不合要求.                   12分
综上可得不存在满足条件的s、t,即函数不存在“正保值区间”。    13分
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